正則性公理- x∈x の排除

正則性公理の必要性が理解できた。

正則性公理: Xが空でない集合の場合、ある x ∈ X が存在し x ∩ X = φ

正則性公理を仮定すると
1. 無限降下列 x1∋x2∋x3∋.. を排除できる。
2. x∈x を排除できる。
　　(もし、x∈x とすると、x∈x∈x∈x.. 無限降下列ができてしまう)

この反例というのは
どんな x ∈ X をとってきても x ∩ X ≠ φ となる X
つまり、無限降下列 X=x1∋x2∋x3∋.. を生じさせることのできる X の存在。

これでようやく一歩前に進めそうです。

2008/4/7: 補足 ------------------------------------------------------
正則性の公理により
すべての順序数の集まり、すべての集合の集まりは集合ではなくなる。

2008/4/10: かがみさんより御指摘いただきました------------------------
内包の公理から「すべての集合の集まりは集合ではない」を証明できる。
正則性の公理とは無関係に成立する。

正則性公理-無限降下列の禁止?

あいかわらず、正則性公理は「なぞ」である。
が、これを仮定することによって、無限降下列x1∋x2∋x3∋...を排除できるらしい。
ここのところは、自分にはまだ理解できていない。
「無限降下列が存在しない」ならば「推移的な集合は最小元を持ち」、「整列できる」。
つまり、順序数の集合や基数の集合を考えたときに、昇順に整列できる。
これが、ひとつのミソかも。

謎:「正則性公理」→「無限降下列x1∋x2∋x3∋...は存在しない」
誰か教えてくれないかなぁ。

2008/3/26: かがみさんからコメントをいただきました。------------------------------
> 正則の公理は Xが空でない集合の場合、ある x ∈ X が存在し x ∩ X = φ ということでした。
> 今、無限降下列 x_1∋ x_2∋x_3∋... が存在したと仮定します。すると X={ x_n : n ∈ ω } が正則の公理の反例となります。
> 実際、任意の n ∈ ω に対し x_{n+1} ∈ x_n ∩ X となります。

2008/4/6:　納得です。

正則性公理-解からない

いまだに、正則性公理は「なぞ」である。

くるるの数学ノート-より http://d.hatena.ne.jp/kururu_goedel/20060608/1149748301
「...ですが、正則性公理が現代集合論ではとても強力に使われていることだけは主張しておいたほうが良いかと思います。
正則性公理を仮定しない場合には、rankを持たない集合が出てきてしまいます。つまり、rankを用いて超限帰納法を適用することによって全ての集合について何かを証明することができなくなってしまいます。ってことは、例えば強制法とか超べきなんかですら既にいろいろ面倒ですね。...」

つまり、rank、強制法、超べきの必要ないところでは無用なのか?