正則性公理- x∈x の排除

正則性公理の必要性が理解できた。

正則性公理: Xが空でない集合の場合、ある x ∈ X が存在し x ∩ X = φ

正則性公理を仮定すると
1. 無限降下列 x1∋x2∋x3∋.. を排除できる。
2. x∈x を排除できる。
　　(もし、x∈x とすると、x∈x∈x∈x.. 無限降下列ができてしまう)

この反例というのは
どんな x ∈ X をとってきても x ∩ X ≠ φ となる X
つまり、無限降下列 X=x1∋x2∋x3∋.. を生じさせることのできる X の存在。

これでようやく一歩前に進めそうです。

2008/4/7: 補足 ------------------------------------------------------
正則性の公理により
すべての順序数の集まり、すべての集合の集まりは集合ではなくなる。

2008/4/10: かがみさんより御指摘いただきました------------------------
内包の公理から「すべての集合の集まりは集合ではない」を証明できる。
正則性の公理とは無関係に成立する。