あいかわらず、正則性公理は「なぞ」である。
が、これを仮定することによって、無限降下列x1∋x2∋x3∋...を排除できるらしい。
ここのところは、自分にはまだ理解できていない。
「無限降下列が存在しない」ならば「推移的な集合は最小元を持ち」、「整列できる」。
つまり、順序数の集合や基数の集合を考えたときに、昇順に整列できる。
これが、ひとつのミソかも。
謎:「正則性公理」→「無限降下列x1∋x2∋x3∋...は存在しない」
誰か教えてくれないかなぁ。
2008/3/26: かがみさんからコメントをいただきました。------------------------------
> 正則の公理は Xが空でない集合の場合、ある x ∈ X が存在し x ∩ X = φ ということでした。
> 今、無限降下列 x_1∋ x_2∋x_3∋... が存在したと仮定します。すると X={ x_n : n ∈ ω } が正則の公理の反例となります。
> 実際、任意の n ∈ ω に対し x_{n+1} ∈ x_n ∩ X となります。
2008/4/6: 納得です。
2 件のコメント:
こんにちは。
正則の公理は Xが空でない集合の場合、ある x ∈ X が存在し x ∩ X = φ ということでした。
今、無限降下列 x_1∋ x_2∋x_3∋... が存在したと仮定します。すると X={ x_n : n ∈ ω } が正則の公理の反例とな
ります。
実際、任意の n ∈ ω に対し x_{n+1} ∈ x_n ∩ X となります。
反例の X について
ある x_n∈ X をとってきたとき
x_n ∩ X を考えると x_{n+1} ∈ x_n
一方, x_{n+1} ∈ X.
なので、x_{n+1} ∈ x_n ∩ X.
つまり、x_n ∩ X は空でない。
どんな n をとってきても、x_n ∩ X は空にはならない。
ということで、よくわかりました。
かがみさん、ありがとうございました。
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